Представьте выражение в виде дроби, не содержащей отрицательные показатели:
найдите его значение при \(\displaystyle a=3\) и \(\displaystyle b=0{,}5{\small:}\)
\(\displaystyle 1{\small.}\) Упростим выражение:
\(\displaystyle \left(\frac{3a^{-1}}{5b^{\ 2}} \right)^{-2} : \left( -\frac{a}{25b^{\ 5}}\right)^{-1} {\small.}\)
Воспользуемся правилом:
Дробь в отрицательной степени
Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a{\small,}\, b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \bigg(\frac{a}{b}\,\bigg)^{-n}=\bigg(\frac{b}{a}\bigg)^{n}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \left(\frac{3a^{-1}}{5b^{\ 2}} \right)^{-2} : \left( -\frac{a}{25b^{\ 5}}\right)^{-1}=\left(\frac{5b^{\ 2}}{3a^{-1}} \right)^{2} : \left( -\frac{25b^{\ 5}}{a}\right)^{1} {\small.}\)
\(\displaystyle \left(\frac{5b^{\ 2}}{3a^{-1}} \right)^\color{red}{2} : \left( -\frac{25b^{\ 5}}{a}\right)^{1}=\frac{5^\color{red}{2} \cdot \left(b^{\ 2} \right)^\color{red}{2}}{3^\color{red}{2} \cdot \left(a^{-1}\right)^\color{red}{2}} : \left( -\frac{25b^{\ 5}}{a}\right)=\frac{25 \cdot b^{4}}{9 \cdot a^{-2}} : \left( -\frac{25b^{\ 5}}{a}\right){\small.}\)
Заменим деление на дробь умножением на обратную:
\(\displaystyle \frac{25 \cdot b^{4}}{9 \cdot a^{-2}} : \left( -\frac{25b^{\ 5}}{a}\right)=\frac{25 \cdot b^{4}}{9 \cdot a^{-2}} \cdot \left( \color{blue}-\frac{a}{25b^{\ 5}}\right)=\color{blue}-\frac{\cancel{25} \cdot b^{4} \cdot a}{9 \cdot a^{-2} \cdot \cancel{25} \cdot b^{\ 5}}{\small.}\)
\(\displaystyle -\frac{ b^{4} \cdot a}{9 \cdot a^{-2} \cdot b^{\ 5}}=-\frac{1 }{ 9}\cdot a^{1-(-2)} \cdot b^{4-5}=-\frac{1 }{ 9}\cdot a^{3} \cdot b^{-1}=-\frac{a^3}{9b}{\small.}\)
\(\displaystyle 2{\small.}\) Найдём значение полученного выражения при \(\displaystyle a=3\) и \(\displaystyle b=0{,}5{\small:}\)
\(\displaystyle -\frac{a^3}{9b}=-\frac{3^3}{9\cdot 0{,}5}=-\frac{27}{9\cdot 0{,}5}=-\frac{3}{ 0{,}5}=-6{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -6{\small.}\)