Дана функция
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-16}{\small .}\)
Запишите область определения функции.
\(\displaystyle x\in\)
Если функция \(\displaystyle y=f(x)\) задана аналитически, то считается, что ее область определения – все значения переменной \(\displaystyle x{\small,}\) при которых выражение \(\displaystyle f(x)\) имеет смысл.
Выражение
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-16}{\small .}\)
имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.
То есть
\(\displaystyle x^2-16\geqslant0\small.\)
Решим полученное неравенство.
Разложим на множители выражение в левой части неравенства по формуле разности квадратов.
Получим неравенство:
\(\displaystyle (x-4)(x+4)\geqslant0\small.\)
Произведение двух чисел неотрицательно, если эти числа одного знака: либо оба неположительны, либо оба неотрицательны.
Значит, исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}x-4\geqslant0{\small , }\\x+4\geqslant0{\small }\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle\left\{\begin{aligned}x-4\leqslant0{\small , }\\x+4\leqslant 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим каждую систему.
Тогда решением совокупности неравенств является объединение промежутков \(\displaystyle [4;+\infty )\cup (-\infty ; -4]\small,\)
или \(\displaystyle (-\infty ; -4]\cup [4;+\infty )\small.\)
Таким образом,
область определения функции \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-16}\)– это \(\displaystyle (-\infty ; -4]\cup [4;+\infty )\small.\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty ; -4]\cup [4;+\infty )\small.\)