Дана функция
\(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x+2)(x-3)}{\small}{\small .}\)
Запишите область определения функции
\(\displaystyle x \in \)
Если функция \(\displaystyle y=f(x)\) задана аналитически, то считается, что ее область определения – все значения переменной \(\displaystyle x{\small,}\) при которых выражение \(\displaystyle f(x)\) имеет смысл.
Выражение
\(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x+2)(x-3)}{\small}{\small }\)
имеет смысл, если знаменатель дроби не равен нулю.
То есть:
\(\displaystyle {(x+2)(x-3)} \,\, \cancel =\,\,0{\small.}\)
Произведение двух сомножителей не равно нулю в том, и только в том случае, когда каждый из сомножителей не равен нулю:
| \(\displaystyle {x+2}\,\, \cancel =\,\,0{\small}\) | и | \(\displaystyle {x-3}\,\, \cancel =\,\,0{\small,}\) |
| \(\displaystyle {x}\,\, \cancel =-2{\small}\) | и | \(\displaystyle {x}\,\, \cancel =\,\,3{\small.}\) |
Значит, областью определения функции являются все точки числовой прямой, кроме точек \(\displaystyle x=-2\) и \(\displaystyle x=3{\small:}\)
Данное множество точек можно записать в виде объединения числовых промежутков:
\(\displaystyle x \in (-\infty;-2)\cup(-2;3) \cup(3;+\infty){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2)\cup(2;3) \cup(3;+\infty){\small.}\)