На рисунке обозначим известные измерения:

\(\displaystyle AC\) – секущая, пересекает окружность в точке \(\displaystyle D{\small;}\) \(\displaystyle AB\) – касательная; \(\displaystyle B\) – точка касания; \(\displaystyle \angle BCD=31^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle BDC=64^{\circ}{\small.}\) Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle BAC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BAC\) – это угол между касательной \(\displaystyle AB\) и секущей \(\displaystyle AC{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\) Следовательно,

угол между касательной и секущей

Угол между касательной к окружности и секущей, не проходящей через точку касания, измеряется полуразностью дуг этой окружности, на которые точкой касания делится дуга, заключенная внутри этого угла.

Определим градусные меры дуг \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle BD{\small.}\)

Угол \(\displaystyle BDC\) вписан в окружность и опирается на дугу \(\displaystyle BC{\small.}\)

Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то

\(\displaystyle \angle BDC=\frac{1}{2}{\small \smile}BC{\small.}\)

Тогда  \(\displaystyle {\small \smile}BC=2 \cdot \angle BDC{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}BC=2 \cdot 64^{\circ}=128^{\circ}{\small.}\)

Угол \(\displaystyle BCD\) вписан в окружность и опирается на дугу \(\displaystyle BD{\small.}\)

Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то

\(\displaystyle \angle BCD=\frac{1}{2}{\small \smile}BD{\small.}\)

Тогда  \(\displaystyle {\small \smile}BD=2 \cdot \angle BCD{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}BD=2 \cdot 31^{\circ}=62^{\circ}{\small.}\)

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle BAC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BAC=\frac{128^{\circ}-62^{\circ}}{2}=\frac{66^{\circ}}{2}=33^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle BAC=33^{\circ}{\small.}\)