Угол \(\displaystyle ACO\) равен \(\displaystyle 24^{\circ}{\small,}\) причем окружность с центром в точке \(\displaystyle O\) касается луча \(\displaystyle CA\) в точке \(\displaystyle A{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle ABO{\small,}\) где \(\displaystyle B\) – точка пересечения луча \(\displaystyle CO\) и окружности, лежащая внутри отрезка \(\displaystyle CO{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ABO=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
На рисунке обозначим известные измерения:
 |
Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle ABO{\small.}\) |
Угол \(\displaystyle ABO\) совпадает с углом \(\displaystyle ABD{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ABD\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle AD{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}AD{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AD=180^{\circ}-{\small \smile}AB{\small.}\)
Определим градусную меру дуги \(\displaystyle AB{\small.}\)
 | Выполним дополнительное построение: проведём радиус \(\displaystyle OA{\small.}\) Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит, \(\displaystyle \angle OAC=90^{\circ}{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle AOB\) – это центральный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle AB{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle {\small \smile}AB=\angle AOB{\small.}\)
\(\displaystyle \angle AOB=66^{\circ}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle {\small \smile}AB=66^{\circ}{\small.}\)
Определим градусную меру дуги \(\displaystyle AD{\small.}\)
 | \(\displaystyle {\small \smile}AD=180^{\circ}-{\small \smile}AB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}{\small.}\) |
Определим градусную меру угла \(\displaystyle ABO{\small.}\)
 | \(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}AD=\frac{1}{2} \cdot 114^{\circ}=57^{\circ} {\small.}\) То есть \(\displaystyle \angle ABO=\angle ABD=57^{\circ} {\small.}\) |
Ответ: \(\displaystyle \angle ABO=57^{\circ}{\small.}\)