Найдите градусную меру угла \(\displaystyle ACO{\small,}\) если луч \(\displaystyle CA\) касается окружности с центром в точке \(\displaystyle O{\small,}\) а градусная мера меньшей дуги этой окружности, заключенной внутри угла \(\displaystyle ACO{\small,}\) равна \(\displaystyle 65^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ACO=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
На рисунке обозначим точки буквами и укажем величину данной дуги:
 |
Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle ACO{\small.}\) |
СПОСОБ \(\displaystyle 1{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ACO\) – это угол между касательной \(\displaystyle CA\) и секущей \(\displaystyle CD{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle AB{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle \angle ACO=\frac{{\small \smile}AD-{\small \smile}AB}{2}{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AD=115^{\circ}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \angle ACO=\frac{115^{\circ}-65^{\circ}}{2}=\frac{50^{\circ}}{2}=25^{\circ}{\small.}\)
СПОСОБ \(\displaystyle 2{\small.}\)
 | Выполним дополнительное построение: проведём радиус \(\displaystyle OA{\small.}\) Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит, \(\displaystyle \angle OAC=90^{\circ}{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle AOB\) – это центральный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle AB{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle \angle AOB={\small \smile}AB=65^{\circ}{\small.}\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOC{\small:}\)
 | Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small,}\) то есть \(\displaystyle \angle ACO+\angle AOC=90^{\circ}{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle \angle ACO=90^{\circ}-\angle AOC=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}{\small.}\) |
Ответ: \(\displaystyle \angle ACO=25^{\circ}{\small.}\)