На рисунке обозначим известные измерения:

\(\displaystyle AC\) – секущая, пересекает окружность в точке \(\displaystyle D{\small;}\) \(\displaystyle AB\) – касательная; \(\displaystyle B\) – точка касания; \(\displaystyle \angle ABD=29^{\circ}{\small;}\) \(\displaystyle \angle BAC=52^{\circ}{\small.}\) Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle CBD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle CBD\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle CD{\small.}\) Следовательно,

теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Длина всей окружности составляет \(\displaystyle 360^{\circ}{\small.}\) Следовательно, сумма градусных мер трёх дуг, образующих полную окружность, равна \(\displaystyle 360^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle {\small \smile}CD+{\small \smile}BC+{\small \smile}BD=360^{\circ}{\small.}\) Значит, \(\displaystyle {\small \smile}CD=360^{\circ}-({\small \smile}BC+{\small \smile}BD){\small.}\)

Определим градусные меры дуг \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{1)}\) \(\displaystyle \angle ABD\) – это угол между касательной \(\displaystyle AB\) и хордой \(\displaystyle BD\) окружности, проведёнными в точке \(\displaystyle B{\small.}\) Следовательно,

угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой окружности, проведёнными в одной её точке, равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

То есть \(\displaystyle 29^{\circ}=\frac{1}{2}{\small \smile}BD{\small.}\) Тогда \(\displaystyle {\small \smile}BD=2 \cdot 29^{\circ}=58^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle \color{red}{2)}\)  \(\displaystyle \angle BAC\) – это угол между касательной \(\displaystyle AB\) и секущей \(\displaystyle AC{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\) Следовательно,

угол между касательной и секущей

Угол между касательной к окружности и секущей, не проходящей через точку касания, измеряется полуразностью дуг этой окружности, на которые точкой касания делится дуга, заключенная внутри этого угла.

То есть \(\displaystyle 52^{\circ}=\frac{{\small \smile}BC-58^{\circ}}{2}{\small.}\) Тогда \(\displaystyle {\small \smile}BC=2 \cdot 52^{\circ}+58^{\circ}=162^{\circ}{\small.}\)

Определим градусную меру дуги \(\displaystyle CD{\small.}\)

\(\displaystyle {\small \smile}CD=360^{\circ}-({\small \smile}BC+{\small \smile}BD)=360^{\circ}-(162^{\circ}+58^{\circ})=360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ}{\small.}\)

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle CBD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle CBD=\frac{1}{2}{\small \smile}CD=\frac{1}{2} \cdot 140^{\circ}=70^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle CBD=70^{\circ}{\small.}\)