Требуется найти такой многочлен \(\displaystyle P\small,\) чтобы выполнялось равенство 

\(\displaystyle A : P=B\small,\)

если

\(\displaystyle A=12x^9-4x^8-8x^6+6x^5+10x^4\small,\)

\(\displaystyle B=-2x^4\small.\)

Из равенства

\(\displaystyle A : P=B\small\)

выразим \(\displaystyle P\small.\)

При делении многочлена  \(\displaystyle A\small\) на многочлен \(\displaystyle P\small\) получается одночлен \(\displaystyle B\small.\)

Значит, \(\displaystyle P\small\) является частным от деления \(\displaystyle A\small\) на \(\displaystyle B\small:\)

\(\displaystyle P=\frac{A}{B}\small,\)

\(\displaystyle P=\frac{12x^9-4x^8-8x^6+6x^5+10x^4}{-2x^4}\small.\)

Распишем дробь:

\(\displaystyle \frac{12x^9-4x^8-8x^6+6x^5+10x^4}{-2x^4}=\)

\(\displaystyle =\frac{12x^9}{-2x^4}-\frac{4x^8}{-2x^4}-\frac{8x^6}{-2x^4}+\frac{6x^5}{-2x^4}+\frac{10x^4}{-2x^4}{\small .}\)

Вынесем минусы из знаменателей дробей:

\(\displaystyle =\frac{12x^9}{-2x^4}-\frac{4x^8}{-2x^4}-\frac{8x^6}{-2x^4}+\frac{6x^5}{-2x^4}+\frac{10x^4}{-2x^4}=\)

\(\displaystyle =-\frac{12x^9}{2x^4}+\frac{4x^8}{2x^4}+\frac{8x^6}{2x^4}-\frac{6x^5}{2x^4}-\frac{10x^4}{2x^4}{\small .}\)

Вынесем числовые коэффициенты в виде дробей у каждого члена:

\(\displaystyle -\frac{12x^9}{2x^4}+\frac{4x^8}{2x^4}+\frac{8x^6}{2x^4}-\frac{6x^5}{2x^4}-\frac{10x^4}{2x^4}=\)

\(\displaystyle =-\frac{12}{2}\cdot \frac{x^9}{x^4}+\frac{4}{2}\cdot \frac{x^8}{x^4}+\frac{8}{2}\cdot\frac{x^6}{x^4}-\frac{6}{2}\cdot\frac{x^5}{x^4}-\frac{10}{2}\cdot\frac{x^4}{x^4}{\small .}\)

Далее сократим каждую числовую дробь на \(\displaystyle 2\) и к степеням применим формулу частного степеней:

\(\displaystyle -\frac{12}{2}\cdot \frac{x^9}{x^4}+\frac{4}{2}\cdot \frac{x^8}{x^4}+\frac{8}{2}\cdot\frac{x^6}{x^4}-\frac{6}{2}\cdot\frac{x^5}{x^4}-\frac{10}{2}\cdot\frac{x^4}{x^4}=\)

\(\displaystyle =-\frac{6}{1}\cdot x^{9-4}+\frac{2}{1}\cdot x^{8-4}+\frac{4}{1}\cdot x^{6-4}-\frac{3}{1}\cdot x^{5-4}-\frac{5}{1}\cdot 1=\)

\(\displaystyle =-6x^5+2x^4+4x^2-3x-5{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle P=\frac{12x^9-4x^8-8x^6+6x^5+10x^4}{-2x^4}=-6x^5+2x^4+4x^2-3x-5{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle P=-6x^5+2x^4+4x^2-3x-5{\small .}\)