Требуется разложить на множители многочлен
\(\displaystyle x^2+9x+18.\)
Сначала одночлен \(\displaystyle 9x\) представим в виде суммы двух слагаемых. Потом раскроем скобки, сгруппируем четыре слагаемых по двум парам, разложим каждую из двух полученных частей на множители.
Если после этого мы увидим, что первая и вторая части имеют один и тот же множитель, то мы сможем вынести его за скобки.
Попробуем представить \(\displaystyle 9x\) в виде
\(\displaystyle 9x=3x+6x.\)
Получим
\(\displaystyle x^2+9x+18=x^2+(3x+6x)+18=x^2+3x+6x+18=\)
\(\displaystyle =(x^2+3x)+(6x+18).\)
Наше выражение
\(\displaystyle \color{blue}{(x^2+3x)}+\color{green}{(6x+18)}\)
можно разбить на две части. И первую часть \(\displaystyle \color{blue}{(x^2+3x)},\) и вторую часть \(\displaystyle \color{green}{(6x+18)}\) разложим на множители.
\(\displaystyle x^2+3x=x(x+3)\)
Найдем в выражении \(\displaystyle x^2+3x\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle 3x\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{3}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{3})=1.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle x^{\bf \color{blue}{2}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 2;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 3x=3x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf 1}=x.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle x^2+3x\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle x:\)
\(\displaystyle x^2+3x=x(x+3).\)
\(\displaystyle 6x+18=6(x+3)\)
Найдем в выражении \(\displaystyle 6x+18\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle 6x\) и \(\displaystyle 18\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{6},\color{blue}{18}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{6},\color{blue}{18})=6.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 6x=6x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 18=18x^{\bf \color{blue}{0}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 0.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,0}=1.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 6x+18\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 6x^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 6:\)
\(\displaystyle 6x+18=6(x+3).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (x^2+3x)+(6x+18)=x(x+3)+6(x+3).\)
Теперь отметим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle (x+3).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle x\color{red}{(x+3)}+6\color{red}{(x+3)}=\color{red}{(x+3)} (x+6).\)
Таким образом,
\(\displaystyle (x^2+3x)+(6x+18)=x(x+3)+6(x+3)=(x+3)(x+6).\)
Ответ: \(\displaystyle x^2+9x+18=(x+3)(x+6).\)
