Дан многочлен
\(\displaystyle x^2+11x+28.\)
Требуется представить одночлен \(\displaystyle 11x\) в виде суммы двух одночленов так, чтобы после раскрытия скобок, группировки четырех слагаемых по двум парам и разложения каждой из двух полученных частей на множители первая и вторая части имели один и тот же множитель.
Попробуем представить \(\displaystyle 11x\) в виде
\(\displaystyle 11x=4x+7x.\)
Получим
\(\displaystyle x^2+11x+28=x^2+(4x+7x)+28=x^2+4x+7x+28=\)
\(\displaystyle =(x^2+4x)+(7x+28).\)
Наше выражение
\(\displaystyle \color{blue}{(x^2+4x)}+\color{green}{(7x+28)}\)
можно разбить на две части. И первую часть \(\displaystyle \color{blue}{(x^2+4x)},\) и вторую часть \(\displaystyle \color{green}{(7x+28)}\) разложим на множители.
\(\displaystyle x^2+4x=x(x+4)\)
Найдем в выражении \(\displaystyle x^2+4x\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle 4x\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{4}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{4})=1.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle x^{\bf \color{blue}{2}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 2;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 4x=4x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf 1}=x.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle x^2+4x\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle x:\)
\(\displaystyle x^2+4x=x(x+4).\)
\(\displaystyle 7x+28=7(x+4)\)
Найдем в выражении \(\displaystyle 7x+28\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle 7x\) и \(\displaystyle 28\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{7},\color{blue}{28}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{7},\color{blue}{28})=7.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 7x=7x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 28=28x^{\bf \color{blue}{0}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 0.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,0}=1.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 7x+28\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 7x^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 7:\)
\(\displaystyle 7x+28=7(x+4).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (x^2+4x)+(7x+28)=x(x+4)+7(x+4).\)
Теперь отметим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle (x+4).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle x\color{red}{(x+4)}+7\color{red}{(x+4)}=\color{red}{(x+4)} (x+7).\)
Таким образом,
\(\displaystyle (x^2+4x)+(7x+28)=x(x+4)+7(x+4)=(x+4)(x+7).\)
Следовательно, представление
\(\displaystyle 11x=4x+7x\)
годится.
Ответ: \(\displaystyle 11x=4x+7x.\)
