Дан многочлен
\(\displaystyle x^2-13x+40.\)
Требуется представить одночлен \(\displaystyle 13x\) в виде суммы двух одночленов так, чтобы после раскрытия скобок, группировки четырех слагаемых по двум парам и разложения каждой из двух полученных частей на множители первая и вторая части имели один и тот же множитель.
Попробуем представить \(\displaystyle 13x\) в виде
\(\displaystyle 13x=5x+8x.\)
Получим
\(\displaystyle x^2-13x+40=x^2-(5x+8x)+40=x^2-5x-8x+40=\)
\(\displaystyle =(x^2-5x)+(-8x+40).\)
Наше выражение
\(\displaystyle \color{blue}{(x^2-5x)}+\color{green}{(-8x+40)}\)
можно разбить на две части. И первую часть \(\displaystyle \color{blue}{(x^2-5x)},\) и вторую часть \(\displaystyle \color{green}{(-8x+40)}\) разложим на множители.
\(\displaystyle x^2-5x=x(x-5)\)
Найдем в выражении \(\displaystyle x^2-5x\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle 5x\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{5}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{5})=1.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle x^{\bf \color{blue}{2}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 2;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 5x=5x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf 1}=x.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle x^2-5x\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle x:\)
\(\displaystyle x^2-5x=x(x-5).\)
\(\displaystyle -8x+40=-8(x-5)\)
Сначала в выражении \(\displaystyle -8x+40\) вынесем знак \(\displaystyle "- ":\)
\(\displaystyle -8x+40=-(8x-40).\)
Найдем в выражении \(\displaystyle 8x-40\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle 8x\) и \(\displaystyle 40\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{8},\color{blue}{40}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{8},\color{blue}{40})=8.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 8x=8x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 40=40x^{\bf \color{blue}{0}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 0.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,0}=1.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 8x-40\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 8x^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 8:\)
\(\displaystyle 8x-40=8(x-5).\)
Тогда
\(\displaystyle -8x+40=-(8x-40)=-8(x-5).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (x^2-5x)+(-8x+40)=x(x-5)+(-8(x-5))=x(x-5)-8(x-5).\)
Теперь отметим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle (x-5).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle x\color{red}{(x-5)}-8\color{red}{(x-5)}=\color{red}{(x-5)} (x-8).\)
Таким образом,
\(\displaystyle (x^2-5x)+(-8x+40)=x(x-5)-8(x-5)=(x-5)(x-8).\)
Следовательно, представление
\(\displaystyle 13x=5x+8x\)
годится.
Ответ: \(\displaystyle 13x=5x+8x.\)
