Задание
Разложите на множители:
\(\displaystyle 1-m^{7}\)
Решение
Представим число \(\displaystyle 1\) как седьмую степень: \(\displaystyle 1=1^7\small.\)
Получим
\(\displaystyle 1-m^{7}=1^7-m^{7}\small.\)
Правило
Разность \(\displaystyle \small{n}\)-х степеней
При любом натуральном \(\displaystyle n\) выполняется равенство
\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\small.\)
Воспользуемся формулой "Разность \(\displaystyle {n}\)-х степеней" для нашего случая \(\displaystyle n=7\):
\(\displaystyle 1^7-m^7=(1-m)(1^6+1^5m+1^4m^2+1^3m^3+1^2m^4+1\cdot m^5+m^6)=(1-m)(1+m+m^2+m^3+m^4+m^5+m^6)\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 1-m^7=(1-m)(1+m+m^2+m^3+m^4+m^5+m^6)\small.\)