Задание
Разложите на множители:
\(\displaystyle l^{5}-m^{15}\)
Решение
Представим число \(\displaystyle m^{15}\) как пятую степень: \(\displaystyle m^{15}=m^{3\cdot 5}=(m^3)^{5}\small.\)
Получим
\(\displaystyle l^{5}-m^{15}=l^{5}-(m^3)^{5}\small.\)
Правило
Разность \(\displaystyle \small{n}\)-х степеней
При любом натуральном \(\displaystyle n\) выполняется равенство
\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\small.\)
Воспользуемся формулой "Разность \(\displaystyle {n}\)-х степеней" для нашего случая \(\displaystyle n=5\):
\(\displaystyle l^5-(m^3)^5=(l-m^3)(l^4+l^3\cdot m^3+l^2\cdot (m^3)^2+l\cdot (m^3)^3+(m^3)^4)=\)
\(\displaystyle =(l-m^3)(l^4+l^3 m^3+l^2 m^6+l m^9+m^{12})\small.\)
Ответ: \(\displaystyle l^5-m^{15}=(l-m^3)(l^4+l^3 m^3+l^2 m^6+l m^9+m^{12})\small.\)