Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 9\) числа
\(\displaystyle 54635\cdot 36002746\small.\)
Сначала найдем остатки от деления на \(\displaystyle 9\) чисел \(\displaystyle 54635\small\) и \(\displaystyle 36002746\small,\) а затем найдем остаток от деления на \(\displaystyle 9\) числа
\(\displaystyle 54635\cdot 36002746\small.\)
Найдем остатки от деления чисел \(\displaystyle 54635\) и \(\displaystyle 36002746\small\) на \(\displaystyle 9\small.\)
Поскольку
\(\displaystyle 54635=6070\cdot 9+5\small,\)
остаток от деления \(\displaystyle 54635\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 5\small.\)
Поскольку
\(\displaystyle 36002746=4000305\cdot 9+1\small,\)
остаток от деления \(\displaystyle 36002746\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 1\small.\)
Значит,
\(\displaystyle 54635\equiv 5\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 36002746\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
По свойству \(\displaystyle 3\) сравнений
Свойства сравнений целых чисел по модулю натурального числа
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small\) и \(\displaystyle c\equiv d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то
\(\displaystyle 1)\) \(\displaystyle a+c\equiv b+d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 2)\) \(\displaystyle a-c\equiv b-d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 3)\) \(\displaystyle a\cdot c\equiv b\cdot d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 4)\) \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)
Другими словами, сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать и возводить в степень.
получаем
\(\displaystyle 54635\cdot 36002746\equiv 5\cdot 1\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 54635\cdot 36002746\equiv 5\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
Остаток от деления \(\displaystyle 5\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 5\small.\)
По определению сравнения по модулю, остаток от деления \(\displaystyle 54635\cdot 36002746\) на \(\displaystyle 9\) тоже равен \(\displaystyle 5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 5\small.\)