Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 9\) числа
\(\displaystyle 54634+36002752\small.\)
Сначала найдем остатки от деления на \(\displaystyle 9\) чисел \(\displaystyle 54634\small\) и \(\displaystyle 36002752\small,\) а затем найдем остаток от деления на \(\displaystyle 9\) числа
\(\displaystyle 54634+36002752\small.\)
Найдем остатки от деления чисел \(\displaystyle 54634\) и \(\displaystyle 36002752\small\) на \(\displaystyle 9\small.\)
Поскольку
\(\displaystyle 54634=6070\cdot 9+4\small,\)
остаток от деления \(\displaystyle 54634\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 4\small.\)
Поскольку
\(\displaystyle 36002752=4000305\cdot 9+7\small,\)
остаток от деления \(\displaystyle 36002752\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 7\small.\)
Значит,
\(\displaystyle 54634\equiv 4\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 36002752\equiv 7\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
По свойству \(\displaystyle 1\) сравнений
Свойства сравнений целых чисел по модулю натурального числа
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small\) и \(\displaystyle c\equiv d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то
\(\displaystyle 1)\) \(\displaystyle a+c\equiv b+d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 2)\) \(\displaystyle a-c\equiv b-d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 3)\) \(\displaystyle a\cdot c\equiv b\cdot d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 4)\) \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)
Другими словами, сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать и возводить в степень.
получаем
\(\displaystyle 54634+36002752\equiv 4+7\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 54634+36002752\equiv 11\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
Остаток от деления \(\displaystyle 11\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 2\small,\) так как
\(\displaystyle 11=1\cdot 9+2\small.\)
По определению сравнения по модулю, остаток от деления \(\displaystyle 54634+36002752\) на \(\displaystyle 9\) тоже равен \(\displaystyle 2\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 2\small.\)