Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 7\) числа
\(\displaystyle 2^{98}\small.\)
Отметим, что
\(\displaystyle 2^{3}=8\small,\)
при этом
\(\displaystyle 8\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {7}\small.\)
Тогда представим \(\displaystyle 2^{98}\) в виде
\(\displaystyle 2^{98}=2^{96+2}=2^{96}\cdot 2^2=(2^{3})^{32}\cdot 4=8^{32}\cdot 4\small.\)
По свойству \(\displaystyle 4\) сравнений
Свойства сравнений целых чисел по модулю натурального числа
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small\) и \(\displaystyle c\equiv d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то
\(\displaystyle 1)\) \(\displaystyle a+c\equiv b+d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 2)\) \(\displaystyle a-c\equiv b-d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 3)\) \(\displaystyle a\cdot c\equiv b\cdot d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 4)\) \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)
Другими словами, сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать и возводить в степень.
при \(\displaystyle n=16\small\) получаем
\(\displaystyle 8^{32}\equiv 1^{32}\hspace{-2mm}\pmod {7}\small,\)
\(\displaystyle 8^{32}\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {7}\small.\)
По свойству \(\displaystyle 3\) сравнений
\(\displaystyle 8^{32}\cdot 4 \equiv 1\cdot 4\hspace{-2mm}\pmod {7}\small.\)
\(\displaystyle 2^{98} \equiv 4\hspace{-2mm}\pmod {7}\small.\)
Остаток от деления \(\displaystyle 4\) на \(\displaystyle 7\) равен \(\displaystyle 4\small.\)
По определению сравнения по модулю, остаток от деления \(\displaystyle 2^{98}\) на \(\displaystyle 7\) тоже равен \(\displaystyle 4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4\small.\)