Найдите остаток от деления на \(\displaystyle 13\) числа
\(\displaystyle 12^{40}\small.\)
Отметим, что
\(\displaystyle 12\equiv -1\hspace{-2mm}\pmod {13}\small.\)
По свойству \(\displaystyle 4\) сравнений
Свойства сравнений целых чисел по модулю натурального числа
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small\) и \(\displaystyle c\equiv d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то
\(\displaystyle 1)\) \(\displaystyle a+c\equiv b+d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 2)\) \(\displaystyle a-c\equiv b-d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 3)\) \(\displaystyle a\cdot c\equiv b\cdot d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 4)\) \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)
Другими словами, сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать и возводить в степень.
при \(\displaystyle n=40\small\) получаем
\(\displaystyle 12^{40}\equiv (-1)^{40}\hspace{-2mm}\pmod {13}\small,\)
\(\displaystyle 12^{40}\equiv 1\hspace{-2mm}\pmod {13}\small.\)
Остаток от деления \(\displaystyle 1\) на \(\displaystyle 13\) равен \(\displaystyle 1\small.\)
По определению сравнения по модулю, остаток от деления \(\displaystyle 12^{40}\) на \(\displaystyle 13\) тоже равен \(\displaystyle 1\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 1\small.\)