В четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) с параллельными сторонами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) проведена диагональ \(\displaystyle AC{\small .}\)
Известны величины отмеченных на рисунке углов:
\(\displaystyle \angle ABC=116\degree {\small ,\;}\angle ACB=42\degree {\small ,\;}CAD=23\degree {\small .}\)
Найдите угол четырёхугольника при вершине \(\displaystyle D{\small .}\)
\(\displaystyle \angle ADC=\)\(\displaystyle \degree\)
Решим задачу, последовательно вычисляя величины углов с вершинами на параллельных прямых \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)
Стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) по условию параллельны. При этих прямых углы \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle ABC\) образуют пару односторонних.
Величины односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей в сумме составляют \(\displaystyle 180\degree{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle ABC+\angle BCD=180\degree {\small .}\)
Выражаем из этого равенства величину угла \(\displaystyle BCD{\text :}\)
\(\displaystyle \angle BCD=180\degree -\angle ABC=180\degree -116\degree =64\degree{\small .} \)
Угол \(\displaystyle BCD\) составлен из частей \(\displaystyle ACB\) и \(\displaystyle ACD{\small .}\)
Значит, величина угла \(\displaystyle ACD\) вычисляется как разность величин целого и известной части:
\(\displaystyle \angle ACD=\angle BCD-\angle ACB=64\degree -42\degree =22\degree {\small .}\)
Стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) по условию параллельны. При этих прямых углы \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle ACD\) образуют пару накрест лежащих.
Величины накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.
Значит,
\(\displaystyle \angle BAC=\angle ACD=22\degree {\small .}\)
Угол \(\displaystyle BAD\) составлен из частей \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle CAD{\small .}\)
Находим величину угла \(\displaystyle BAD\) как сумму величин частей:
\(\displaystyle \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=22\degree +23\degree =45\degree {\small .}\)
Стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) по условию параллельны. При этих прямых углы \(\displaystyle BAD\) и \(\displaystyle ADC\) образуют пару односторонних.
Величины односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей в сумме составляют \(\displaystyle 180\degree{\small .}\)
Значит, величину угла \(\displaystyle ADC\) можно найти вычитанием величины угла \(\displaystyle BAD\) из \(\displaystyle 180\degree {\text :}\)
\(\displaystyle \angle ADC=180\degree -\angle BAD=180\degree -45\degree =135\degree{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \angle ADC=135\degree{\small .}\)