Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности.

Определение

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.

На бóльшей и меньшей дугах \(\displaystyle AB\) отметим промежуточные точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle L\) соответственно.

Информация

	Если дуга \(\displaystyle MN\) окружности с центром \(\displaystyle O\) меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle MON{\small,}\) то есть \(\displaystyle {\small \smile}MLN=\angle MON{\small.}\)
	Если дуга \(\displaystyle MN\) больше полуокружности, то её градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle MON{\small,}\) то есть \(\displaystyle {\small \smile}MPN=360^{\circ}-\angle MON{\small.}\)

Дуга \(\displaystyle ALB\) меньше полуокружности, значит,

\(\displaystyle \angle AOB={\small \smile}ALB{\small.}\)

По условию \(\displaystyle {\small \smile}ALB:{\small \smile}ANB=7:8{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}ALB=7t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}ANB=8t{\small.}\) Тогда \(\displaystyle {\small \smile}ALB+{\small \smile}ANB=7t+8t=15t{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle 15t=360^{\circ}{\small;}\)

\(\displaystyle t=24^{\circ}{\small.}\)

Найдём длину дуги \(\displaystyle ALB{\small:}\)

\(\displaystyle {\small \smile}ALB=7t=7 \cdot 24^{\circ}=168^{\circ}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \angle AOB=168^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle AOB=168^{\circ}{\small.}\)