Точки \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D{\small,}\) последовательно расположенные на окружности в указанном порядке, делят её на четыре дуги, градусные меры которых относятся как \(\displaystyle 1:2:3:4{\small,}\) причём дуга \(\displaystyle AB\) – наименьшая. Найдите градусную меру дуги \(\displaystyle ABC\) данной окружности.
\(\displaystyle {\small \smile} ABC=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}CD+{\small \smile}AD=360^{\circ}{\small.}\)
 | По условию \(\displaystyle {\small \smile}AB:{\small \smile}BC:{\small \smile}CD:{\small \smile}AD=1:2:3:4{\small.}\) То есть \(\displaystyle {\small \smile}AB=\color{red}{t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=\color{darkviolet}{2t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}CD=\color{orange}{3t}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AD=\color{green}{4t}{\small.}\) |
Тогда
\(\displaystyle {\small \smile}AB+{\small \smile}BC+{\small \smile}CD+{\small \smile}AD=\color{red}{t}+\color{darkviolet}{2t}+\color{orange}{3t}+\color{green}{4t}=10t{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 10t=360^{\circ}{\small;}\)
\(\displaystyle t=36^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AB=36^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=72^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}CD=108^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AD=144^{\circ}{\small.}\)
Точка \(\displaystyle B\) лежит на окружности между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small,}\) значит,
\(\displaystyle {\small \smile}ABC={\small \smile}AB+{\small \smile}BC= 36^{\circ}+72^{\circ}=108^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle {\small \smile}ABC=108^{\circ}{\small.}\)