Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Применение свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников

Задание

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) с острым углом при вершине \(\displaystyle A\) равны высоты \(\displaystyle BK\) и \(\displaystyle CL{\small ,}\) опущенные на стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AB\) соответственно.

Дополните два альтернативных доказательства равенства сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small .}\)

ПЕРВЫЙ СПОСОБ

\(\displaystyle ~~~~1{\small .}\) Рассмотрим прямоугольные треугольники  и 

У них есть:

  • общий угол при вершине 
    A
  • пара равных сторон \(\displaystyle BK\) и \(\displaystyle CL{\small .}\)

Значит, треугольники равны по  

\(\displaystyle ~~~~2{\small .}\) В равных треугольниках три пары равных сторон. Значит, \(\displaystyle AB=AC{\small .}\)

 

ВТОРОЙ СПОСОБ

\(\displaystyle ~~~~1{\small .}\) Рассмотрим прямоугольные треугольники   и 

У них есть:

  • общая сторона 
    BC
  • пара равных сторон \(\displaystyle BK\) и \(\displaystyle CL{\small .}\)

Значит, треугольники равны по  

\(\displaystyle ~~~~2{\small .}\) Углы \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ACB\) равны, так как в равных треугольниках равным сторонам противолежат равные углы.

\(\displaystyle ~~~~3{\small .}\) Два угла треугольника равны, им противолежат равные стороны. Значит, \(\displaystyle AB=AC{\small .}\)

Решение

Восстановим оба способа доказательства, последовательно заполняя пропуски.

1. Для первого способа требуются прямоугольные треугольники с общим углом при общей вершине. Есть только одна пара таких треугольников.

Отметим на рисунке прямые углы, которые высоты треугольника образуют с его сторонами.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABK\) и \(\displaystyle ACL{\small .}\)

Эти треугольники имеют общий угол при общей вершине \(\displaystyle A{\small .}\) Противолежащие этому углу катеты равны по условию.

Значит, треугольники равны по катету и противолежащему ему углу.

Поскольку гипотенузы равных треугольников равны, получаем требуемое равенство:

\(\displaystyle AB=AC{\small .}\)

2. Для второго способа требуются два прямоугольных треугольника с общей стороной. Есть только одна пара таких треугольников.

Отметим на рисунке прямые углы, которые высоты треугольника образуют с его сторонами.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle BCK\) и \(\displaystyle BCL{\small .}\)

Эти треугольники имеют общую гипотенузу \(\displaystyle BC{\small .}\) Катеты \(\displaystyle BK\) и \(\displaystyle CL\) по условию равны.

Значит, треугольники равны по катету и гипотенузе.

Напротив равных катетов расположены равные углы \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ACB{\small .}\) Они являются также углами треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Если в треугольнике два угла равны, то равны и противолежащие им стороны.

Значит,

\(\displaystyle AB=AC{\small .}\)

 

Ответ: