В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведена высота \(\displaystyle AH{\small .}\) Точка \(\displaystyle H\) соединена двумя равными отрезками с серединами \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small .}\)
Величина угла \(\displaystyle ABH\) равна \(\displaystyle 38\degree \)
Найдите величину угла \(\displaystyle ANH{\small .}\)
\(\displaystyle \angle ANH=\)\(\displaystyle \degree \)
Отрезок \(\displaystyle AH\) является высотой исходного треугольника. Отметив на рисунке прямой угол, обнаруживаем, что отрезки \(\displaystyle MH\) и \(\displaystyle NH~-\) медианы прямоугольных треугольников \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle ACH{\small ,}\) проведённые к их гипотенузам.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине.
Значит, учитывая, что медианы равны по условию, равны и гипотенузы в треугольниках \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle ACH{\text :}\)
\(\displaystyle AB=2\cdot MH=2 \cdot NH=AC{\small .}\)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пользуясь этим в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ABC{\small ,}\) установим величину угла \(\displaystyle ACB{\text :}\)
\(\displaystyle \angle ACB=\angle ABC=38\degree {\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle CHN\) также является равнобедренным, так как медиана \(\displaystyle HN\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle ACH\) равна половине его гипотенузы \(\displaystyle AC{\small .}\)
Это влечёт равенство углов при основании:
\(\displaystyle \angle CHN=\angle HCN=38\degree {\small .}\)
Угол \(\displaystyle ANH\) является внешним углом треугольника \(\displaystyle CHN{\small .}\)
Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника.
Значит,
\(\displaystyle \angle ANH=\angle CHN+\angle HCN=38\degree +38\degree =76\degree {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle ANH=76\degree {\small .}\)