В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведена высота \(\displaystyle CH{\small .}\) От луча \(\displaystyle CH\) отложен угол, равный тому, что высота образует со стороной \(\displaystyle AC{\small .}\)
Вторая сторона отложенного угла пересекает сторону \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle D{\small .}\)
Известны длина отрезка \(\displaystyle AH\) и периметр исходного треугольника:
\(\displaystyle AH=7{\small ,\;}~~~P_{ABC}=39{\small .}\)
Найдите два равных прямоугольных треугольника и определите периметр треугольника \(\displaystyle BCD{\small .}\)
Треугольники
\(\displaystyle P_{BCD}=\)
В треугольнике проведена высота. Дополним рисунок прямым углом, который она образует со стороной.
Треугольники \(\displaystyle ACH\) и \(\displaystyle CDH\) прямоугольные, так как отрезок \(\displaystyle CH\) перпендикулярен стороне \(\displaystyle AB{\small .}\)
У них есть общий катет \(\displaystyle CH\) и равны углы \(\displaystyle ACH\) и \(\displaystyle DCH\small,\) прилежащие к этому катету.
Если у двух прямоугольных треугольников есть пара равных катетов и прилежащие к ним острые углы равны, то треугольники равны.
Значит, треугольники \(\displaystyle ACH\) и \(\displaystyle CDH\) равны по катету и прилежащему к нему острому углу.
Часть ответа получена.
Равенство треугольников означает равенство их элементов. Отметим это на рисунке.
Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BCD{\small .}\) Периметр первого известен, периметр второго требуется найти.
У этих треугольников есть общая сторона \(\displaystyle BC\) и пара равных сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)
Значит, разность периметров определяется только разностью третьих сторон треугольников:
\(\displaystyle P_{ABC}-P_{BCD}=(AC+BC+AB)-(CD+BC+BD)=\)
\(\displaystyle =(AC-CD)+(BC-BC)+(AB-BD)=AB-BD{\small .}\)
Заметим, что это разность длины отрезка и его части. Значит, она равна длине другой части отрезка:
\(\displaystyle P_{ABC}-P_{BCD}=AB-BD=AD{\small .}\)
Из-за равенства отрезков \(\displaystyle AH\) и \(\displaystyle DH\) длина отрезка \(\displaystyle AD\) в два раза больше длины отрезка \(\displaystyle AH{\text :}\)
\(\displaystyle P_{ABC}-P_{BCD}=AD=2\cdot AH=2\cdot 7=14{\small .}\)
Искомый периметр на \(\displaystyle 14\) меньше данного. Выражаем из полученного равенства искомый периметр:
\(\displaystyle P_{BCD}=P_{ABC}-14=39-14=25{\small .}\)
| Ответ: |  |