Решение 1.

Представим в виде дроби выражение в знаменателе:

\(\displaystyle y^{-1}+2=\frac{1}{y}+2=\frac{1+2y}{y}{\small.}\)

Тогда исходная дробь примет вид:

\(\displaystyle \frac{2y+1}{y^{-1}+2}=\frac{2y+1}{\small {\dfrac{1+2y}{y}}}{\small.}\) 

Заменим дробную черту на знак деления:

\(\displaystyle \frac{2y+1}{\small {\dfrac{1+2y}{y}}}=(2y+1):\frac{1+2y}{y}=(2y+1)\cdot\frac{y}{1+2y}{\small.}\) 

Сократим дробь:

\(\displaystyle (2y+1)\cdot\frac{y}{1+2y}=\frac{\cancel{(2y+1)}\cdot y}{\cancel{(1+2y)}}=y{\small.}\) 

Таким образом, 

\(\displaystyle \frac{2y+1}{y^{-1}+2}=y{\small.}\) 

Решение 2.

Заметим, что 

\(\displaystyle y^{-1} \cdot y=y^{-1+1}= y^{0}=1{\small.}\)

Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle y{\small}\) и раскрыв скобки в знаменателе, избавимся от отрицательной степени: 

\(\displaystyle \frac{(2y+1)y}{(y^{-1}+2)y}=\frac{(2y+1)y}{y^{-1}y+2y}=\frac{(2y+1)y}{1+2y}{\small.}\) 

Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \frac{\cancel{(2y+1)}y}{\cancel{(1+2y)}}=y{\small.}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \frac{2y+1}{y^{-1}+2}=y{\small.}\) 

Ответ: \(\displaystyle y{\small.}\)