Решение 1.

Представим в виде дробей выражения в числителе и знаменателе исходной дроби:

• \(\displaystyle ab^{-2}+a^{-2}b=\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}}=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}b^{2}}{\small.}\\[-7px]\)
   
• \(\displaystyle ab^{-2}-a^{-2}b=\frac{a}{b^{2}}-\frac{b}{a^{2}}=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}b^{2}}{\small.}\)

Разделим числитель на знаменатель, заменив дробную черту на знак деления:

\(\displaystyle \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}b^{2}}:\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}b^{2}}=\frac{a^{3}+b^{3}}{\cancel{a^{2}b^{2}}} \cdot \frac {\cancel{a^{2}b^{2}}}{a^{3}-b^{3}}=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}{\small.}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \frac{ab^{-2}+a^{-2}b}{ab^{-2}-a^{-2}b}=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}{\small.}\)

Решение 2.

Заметим, что 

• \(\displaystyle a^{-2} \cdot a^{2}=a^{-2+2}=a^{0}=1{\small,}\\[-7px]\)
• \(\displaystyle b^{-2} \cdot b^{2}=b^{-2+2}=b^{0}=1{\small.}\)

Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle a^{2}b^{2}{\small}\) и раскрыв скобки, избавимся от отрицательных степеней: 

Ответ: \(\displaystyle \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}-b^{3}}{\small.}\)