Решение 1.

Представим в виде дробей выражения в числителе и знаменателе исходной дроби:

• \(\displaystyle x^{9}+x^{7}+x^{-2}=x^{9}+x^{7}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{11} + x^{9} + 1}{x^{2}}{\small.}\\[-7px]\)
   
• \(\displaystyle x^{7}+x^{5}+x^{-4}=x^{7}+x^{5}+\frac{1}{x^{4}}=\frac{x^{11} + x^{9} + 1}{x^{4}}{\small.}\)

Разделим числитель на знаменатель, заменив дробную черту на знак деления:

\(\displaystyle \frac{x^{11} + x^{9} + 1}{x^{2}}:\frac{x^{11} + x^{9} + 1}{x^{4}}=\frac{\cancel{x^{11} + x^{9} + 1}}{x^{2}} \cdot \frac {x^{4}}{\cancel{x^{11} + x^{9} + 1}}=\frac {x^{4}}{x^{2}}=x^{2}{\small.}\)

Таким образом, 

\(\displaystyle \frac{x^{9}+x^{7}+x^{-2}}{x^{7}+x^{5}+x^{-4}}=x^{2}{\small.}\)

Решение 2.

Заметим, что 

• \(\displaystyle x^{-2} \cdot x^{4}=x^{-2+4}= x^{2}{\small,}\\[-7px]\)
• \(\displaystyle x^{-4} \cdot x^{4}=x^{-4+4}= x^{0}=1{\small.}\)

Тогда, умножив числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle x^{4}{\small,}\) избавимся от отрицательных степеней: 

\(\displaystyle \frac{x^{9}+x^{7}+x^{-2}}{x^{7}+x^{5}+x^{-4}}=\frac{(x^{9}+x^{7}+x^{-2})x^{4}}{(x^{7}+x^{5}+x^{-4})x^{4}}=\)

\(\displaystyle \\[-5px]=\frac{x^{9}x^{4}+x^{7}x^{4}+x^{-2}x^{4}}{x^{7}x^{4}+x^{5}x^{4}+x^{-4}x^{4}}=\frac{x^{13}+x^{11}+x^{2}}{x^{11}+x^{9}+1}{\small.}\)

В числителе вынесем за скобку общий множитель \(\displaystyle x^{2}\) и сократим дробь:

\(\displaystyle \frac{x^{13}+x^{11}+x^{2}}{x^{11}+x^{9}+1}=\frac{x^{2}(x^{11}+x^{9}+1)}{x^{11}+x^{9}+1}=\frac{x^{2}\cancel{(x^{11}+x^{9}+1)}}{\cancel{x^{11}+x^{9}+1}}=x^{2}{\small.}\) 

Таким образом, 

\(\displaystyle \frac{x^{9}+x^{7}+x^{-2}}{x^{7}+x^{5}+x^{-4}}=x^{2}{\small.}\) 

Ответ: \(\displaystyle x^{2}{\small.}\)