Задание
Являетcя ли равенcтво
\(\displaystyle \left(c^{-1}+d^{-1}\right)\left(c^{-1}-d^{-1}\right)=c^{-2}-d^{-2}\)
тождеcтвом?
Решение
Определение
Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
По свойствам степени
\(\displaystyle c^{-2}=\left(c^{-1}\right)^2\) и \(\displaystyle d^{-2}=\left(d^{-1}\right)^2{\small .}\)
Тогда исходное равенство можно записать в виде:
\(\displaystyle \left(c^{-1}+d^{-1}\right)\left(c^{-1}-d^{-1}\right)=\left(c^{-1}\right)^2-\left(d^{-1}\right)^2{\small .}\)
Видим, что это тождество сокращённого умножения
Правило
Разность квадратов
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}=(a+b\,)(a-b\,).\)
при
\(\displaystyle a=c^{-1}\) и \(\displaystyle b=d^{-1}{\small .}\)
Ответ: да.