Среди данных выражений только одно тождественно равно выражению
\(\displaystyle \frac{x^{-2}-10x^{-1}y^{-1}+25y^{-2}}{x^{-1}-5y^{-1}}{\small .}\)
Выберите его.
Преобразуем данное выражение.
Разложим на множители числитель дроби:
\(\displaystyle x^{-2}-10x^{-1}y^{-1}+25y^{-2}=\left({x^{-1}}-{5y^{-1}}\right)^2{\small .}\)
Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим её:
\(\displaystyle \frac{x^{-2}-10x^{-1}y^{-1}+25y^{-2}}{x^{-1}-5y^{-1}}=\frac{\left({x^{-1}}-{5y^{-1}}\right)^2}{x^{-1}-5y^{-1}}=x^{-1}-5y^{-1}{\small .}\)
Полученное выражение тождественно равно исходному, но среди предложенных вариантов ответа его нет.
Поэтому продолжим преобразования:
\(\displaystyle x^{-1}-5y^{-1}=\frac{1}{x}-5\cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{x}-\frac{5}{y}=\frac{y-5x}{xy}{\small .}\)
Такой вариант ответа есть.
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{x^{-2}-10x^{-1}y^{-1}+25y^{-2}}{x^{-1}-5y^{-1}}\) тождественно равно \(\displaystyle \frac{y-5x}{xy}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{y-5x}{xy}{\small .}\)