Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 12 Окружность, вписанная в трапецию

Задание

Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны \(\displaystyle 9\) и \(\displaystyle 12{\small.}\) Найдите площадь трапеции.

216
Решение

По условию задачи выполним построение.

  • \(\displaystyle ABCD\) – описанная равнобедренная трапеция;
  • \(\displaystyle O\) – центр вписанной окружности;
  • \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) – боковые стороны;
  • \(\displaystyle OC=9{\small;}\)
  • \(\displaystyle OD=12{\small.}\)

Требуется найти площадь трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

 

Так как трапеция описана около окружности, то

\(\displaystyle AD+BC=AB+CD{\small.}\)

Площадь трапеции \(\displaystyle ABCD\) найдём по формуле

\(\displaystyle S_{ABCD}=(AB+CD) \cdot r{\small,}\)

где \(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности.

Заметим, что

\(\displaystyle OC\) – биссектриса угла \(\displaystyle C{\small,}\)

\(\displaystyle OD\) – биссектриса угла \(\displaystyle D{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle COD{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle OCD=\frac{1}{2}\angle C{\small,}\) \(\displaystyle \angle ODC=\frac{1}{2}\angle D{\small.}\)

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small,}\)

то есть \(\displaystyle \angle C+\angle D=180^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle OCD+\angle ODC=\frac{1}{2}\angle C+\frac{1}{2}\angle D=90^{\circ}{\small.}\)

  • Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle COD=180^{\circ}-(\angle OCD+\angle ODC)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}{\small.}\)

Значит, треугольник \(\displaystyle COD\) – прямоугольный.

  • По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=OC^2+OD^2{\small;}\)

\(\displaystyle CD^2=9^2+12^2=81+144=225{\small.}\)

Так как длина стороны неотрицательна, то \(\displaystyle CD=15{\small.}\)

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, следовательно,

\(\displaystyle AB=CD=15{\small.}\)

 

Пусть \(\displaystyle P\) – точка касания окружности со стороной \(\displaystyle CD{\small.}\)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит,

  • \(\displaystyle OP=r\) – высота прямоугольного треугольника \(\displaystyle COD{\small,}\) проведённая к гипотенузе.

\(\displaystyle OP=\frac{OC \cdot OD}{CD}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle OP=r{\small,}\) \(\displaystyle OC=9{\small,}\) \(\displaystyle OD=12{\small,}\) \(\displaystyle CD=15{\small:}\)

\(\displaystyle r=\frac{9 \cdot 12}{15}=7{,}2{\small.}\)

 

Вычислим площадь трапеции \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=(AB+CD) \cdot r=(15+15) \cdot 7{,}2=30 \cdot 7{,}2=3 \cdot 72=216{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle S_{ABCD}=216{\small.}\)