Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 12 Окружность, вписанная в трапецию

Задание

Около окружности описана прямоугольная трапеция \(\displaystyle ABCD\) с основаниями \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD{\small.}\) Точка касания \(\displaystyle K\) делит бóльшую боковую сторону \(\displaystyle CD\) на отрезки \(\displaystyle 9\) и \(\displaystyle 16{\small.}\) Найдите основания и площадь трапеции.

\(\displaystyle BC=\)\(\displaystyle ;\)      \(\displaystyle AD=\)\(\displaystyle ;\)      \(\displaystyle S_{ABCD}=\)\(\displaystyle .\)

Решение
  • \(\displaystyle ABCD\) – описанная прямоугольная трапеция;
  • \(\displaystyle O\) – центр вписанной окружности;
  • \(\displaystyle K\) – точка касания окружности и стороны \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle CK=9{\small,}\) \(\displaystyle KD=16{\small;}\)
  • \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N{\small,}\) \(\displaystyle L\) – точки касания вписанной окружности со сторонами \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle BC{\small,}\) \(\displaystyle AD\) соответственно.

Требуется найти основания и площадь данной трапеции.

 

\(\displaystyle \color{red}{1)}\) Найдём основания трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

Заметим, что

\(\displaystyle CN=CK=9{\small;}\)

\(\displaystyle LD=KD=16{\small.}\)

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

  • \(\displaystyle OM \perp AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle ON \perp BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle OL \perp AD{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle OMBN\) и \(\displaystyle OMAL\) – квадраты. Тогда

\(\displaystyle BN=MO=AL=r{\small.}\)

\(\displaystyle BC=r+9{\small;}\)

\(\displaystyle AD=r+16{\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Проведём высоту \(\displaystyle CH{\small.}\)

  • Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:

\(\displaystyle CH=NL=2r{\small.}\)

  • \(\displaystyle LNCH\) – прямоугольник, значит,

\(\displaystyle LH=NC=9{\small,}\)

\(\displaystyle HD=LD-LH=16-9=7{\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle CDH{\small.}\)

Точка \(\displaystyle K\) лежит на отрезке \(\displaystyle CD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle CD=CK+KD=9+16=25{\small.}\)

 

По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=CH^2+HD^2{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle CH^2=CD^2-HD^2{\small,}\)

то есть

\(\displaystyle (2r)^2=25^2-7^2=625-49=576{\small.}\)

Так как длина отрезка неотрицательна, то \(\displaystyle 2r=24{\small,}\) следовательно, \(\displaystyle r=12{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle BC=r+9=12+9=21{\small;}\)

\(\displaystyle AD=r+16=12+16=28{\small.}\)

 

\(\displaystyle \color{red}{2)}\) Найдём площадь трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle BC=21{\small,}\) \(\displaystyle AD=28{\small,}\) \(\displaystyle CH=24{\small:}\)

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{21+28}{2}\cdot 24=49 \cdot 12=588{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle BC=21{\small,}\) \(\displaystyle AD=28{\small,}\) \(\displaystyle S_{ABCD}=588{\small.}\)