Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 09 Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задание

На сторонах угла \(\displaystyle A\) были отмечены точки \(\displaystyle B{\small ,\;}C\) и \(\displaystyle D\) как показано на рисунке.

Требовалось построить треугольник \(\displaystyle ABE\) с этим углом так, чтобы сторона \(\displaystyle AB\) была на столько же длиннее стороны \(\displaystyle AE{\small ,}\) на сколько длина отрезка \(\displaystyle AC\) больше длины отрезка \(\displaystyle CD {\small .}\)

В построении использовались показанные на рисунке окружности. На разных этапах построения возникали точки пересечения окружностей друг с другом и сторонами угла, отмеченные и подписанные на рисунке.

Установите, в каком порядке при построении проводились окружности, какие точки использовались в качестве их центров и длины каких отрезков использовались в качестве их радиусов.

\(\displaystyle 1{\small .}\)Окружность с центром  и  радиусом, равным длине отрезка 
CD
\(\displaystyle 2{\small .}\)Окружность с центром   и  радиусом, равным длине отрезка 
AG
\(\displaystyle 3{\small .}\)Окружность с центром   и  радиусом, равным длине отрезка  
BL

 

Решение

По рисунку понимаем, что применённый способ реализует алгоритм построения треугольника по углу и прилежащим к нему сторонам.

Для треугольника\(\displaystyle ABE\)уже построен угол с вершиной \(\displaystyle A\) и одна из прилежащих к нему сторон\(\displaystyle AB{\small .}\)

Остаётся найти и отложить на луче \(\displaystyle AD\) отрезок, равный стороне \(\displaystyle AE{\small .}\)


По условию, этот отрезок настолько же короче отрезка \(\displaystyle AB{\small ,}\) насколько отрезок \(\displaystyle AC\) длиннее отрезка \(\displaystyle CD{\text :}\)

\(\displaystyle AC-CD=AB-AE{\small .}\)

Из этого равенства длину отрезка \(\displaystyle AE\) можно выразить, например, так:

\(\displaystyle AE=AB-(AC-CD){\small .}\)
 

В правой части равенства есть только длины данных по условию отрезков. С помощью показанных окружностей нужно поэтапно получить отрезки

  • длиной \(\displaystyle AC-CD{\small ,}\)
  • длиной \(\displaystyle AB-(AC-CD){\small .}\)

Получится отрезок, который нужно отложить на стороне \(\displaystyle AD\) данного угла, чтобы получить точку \(\displaystyle E{\small .}\)

Выполним эти действия в три этапа.

1. Окружность с центром \(\displaystyle C\) и радиусом \(\displaystyle CD\) позволяет получить отрезок длиной \(\displaystyle AC-CD{\small .}\)

Отложив на отрезке \(\displaystyle AC\) длину отрезка \(\displaystyle CD{ \small ,}\) получим оставшуюся часть этого отрезка \(\displaystyle -~AG{\small .}\) Её длина составит:

\(\displaystyle AG=AC-CD{\small .}\)

2. Окружность с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AG\) позволяет получить отрезок длиной \(\displaystyle AB-(AC-CD){\small .}\)

Отложив на отрезке \(\displaystyle AB\) длину отрезка \(\displaystyle AG{ \small ,}\) получим оставшуюся часть этого отрезка \(\displaystyle -~BL{\small .}\) Её длина составит:

\(\displaystyle BL=AB-AG=AB-(AC-CD){\small .}\)

3. С помощью окружности с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle BL\) откладываем сторону \(\displaystyle AE\) искомого треугольника на луче \(\displaystyle AD{\small .}\)

Длина построенного отрезка \(\displaystyle BL\) равна длине стороны \(\displaystyle AE\) треугольника \(\displaystyle ABE{\small .}\) Можем получить вершину \(\displaystyle E{\small ,}\) отложив этот отрезок от начала луча \(\displaystyle AD{\small .}\)

Соединив точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle E{\small ,}\) убеждаемся, что треугольник \(\displaystyle ABE\) построен и соответствует условию задачи.

Остаётся вписать параметры трёх использованных окружностей в строки таблицы.

 

Ответ: