Требуется построить треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)
На плоскости отмечен центр \(\displaystyle O\) вписанной в него окружности. Отрезки \(\displaystyle MO\) и \(\displaystyle NO\) соответственно равны его сторонам \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\)
Известно, что на этих же отрезках расположены радиусы вписанной окружности, проведённые к этим сторонам.
Выберите и правильно расположите подходящие фрагменты для описания одного из способов построения треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
| Cтроим треугольник \(\displaystyle LMO{\small ,}\) равный искомому. | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | |
| Находим радиус \(\displaystyle FH\) окружности, вписанной в треугольник \(\displaystyle LMO{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
| Находим вершину \(\displaystyle A\) искомого треугольника. | |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 5{\small .}\) | |
| Завершаем построение искомого треугольника стороной \(\displaystyle BC{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 6{\small .}\) | |
Восстановим построение по пунктам, последовательно подбирая подходящие фрагменты.
Представим, что треугольник \(\displaystyle ABC\) построен. На лучах \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON\) расположены радиусы вписанной в него окружности искомого треугольника. Обозначим их общие со сторонами треугольника точки буквами \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small .}\) |  |
Радиус, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен касательной. Значит, четырёхугольник \(\displaystyle APOQ\) составлен из двух прямоугольных треугольников \(\displaystyle APO\) и \(\displaystyle AQO{\small ,}\) а его углы \(\displaystyle PAO\) и \(\displaystyle QAO\) составлены из острых углов этих треугольников. Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90\degree {\small .}\) Поэтому сумма углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle O\) рассматриваемого четырёхугольника равна \(\displaystyle 90\degree +90\degree =180\degree {\small .}\) |  |
Значит, угол, смежный с углом \(\displaystyle MON\small,\) равен углу при вершине \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\) Если на чертеже задачи продлить до прямой отрезок \(\displaystyle NO\small,\) то получится как раз такой угол. На одной его стороне уже отложен отрезок \(\displaystyle MO\small,\) равный стороне \(\displaystyle AB{\small .}\) Отложив на другой стороне отрезок длиной \(\displaystyle NO\small,\) получим треугольник, равный искомому по двум сторонам и углу между ними. |  |
Соответствующий фрагмент обнаруживаем среди предложенных вариантов и помещаем в первый пункт. В этом фрагменте третья вершина построенного треугольника обозначена буквой \(\displaystyle L{\small .}\)
Радиус вписанной в треугольник \(\displaystyle ABC\) окружности равен радиусу окружности, вписанной в равный ему треугольник \(\displaystyle LMO{\small .}\) Центр вписанной в треугольник окружности расположен на пересечении его биссектрис. Проводя две биссектрисы углов треугольника \(\displaystyle LMO\small,\) найдём центр \(\displaystyle F\) вписанной в него окружности. Радиус, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен касательной. Значит, опустив из центра вписанной окружности перпендикуляр на любую из сторон треугольника \(\displaystyle LMO{\small ,}\) получим радиус этой окружности. |  |
В предложенных фрагментах находим два:
- с построением двух биссектрис углов при вершинах \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle L\) треугольника \(\displaystyle LMO{\text ;}\)
- с проведением перпендикуляра \(\displaystyle FH\) к стороне \(\displaystyle LO{\small .}\)
Эти фрагменты размещаем во втором и третьем пунктах.
Окружность с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle FH\) является вписанной в треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\) Построив её, получим точки касания \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) как точки пересечения окружности с лучами \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON{\small .}\) Радиус, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен касательной. Значит, стороны треугольника расположены на прямых, перпендикулярных лучам \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON\) и проходящих соответственно через точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small .}\) Построим такие прямые. Точка их пересечения \(\displaystyle -\) вершина \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\) |  |
Находим соответствующие этим действиям фрагменты и заполняем четвёртый и пятый пункты.
Длины сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) равны длинам отрезков \(\displaystyle MO\) и \(\displaystyle NO{\small .}\) Отложив отрезки этих длин на сторонах построенного ранее угла \(\displaystyle PAQ\small,\) получим вершины \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small .}\) Построение завершается проведением оставшейся стороны \(\displaystyle BC{\small .}\) |  |
Находим подходящий фрагмент для указанных действий и заполняем оставшийся пункт.
| Ответ: |  |