Требовалось построить несколько треугольников с данной стороной \(\displaystyle AB\) и двумя другими сторонами, длины которых \(\displaystyle s\) и \(\displaystyle t\) равны длинам данных отрезков. Длины всех трёх данных отрезков различны.
Для решения задачи построены четыре окружности: радиусами \(\displaystyle s\) и \(\displaystyle t\) и центрами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\) Отмечены и обозначены некоторые из точек их пересечений.
Выберите треугольники с вершинами в обозначенных точках, являющиеся решениями задачи.
Две вершины искомого треугольника заданы его стороной \(\displaystyle AB{\small .}\)
Если нужно построить треугольник с данной стороной \(\displaystyle AB\), две другие стороны которого равны данным отрезкам, то строят две окружности с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и радиусами, равными данным отрезкам. Любую из точек пересечения этих окружностей можно принять за третью вершину \(\displaystyle C\) искомого треугольника.
Важно помнить, что построение треугольника с данными длинами сторон возможно при условии, что большая из них меньше суммы двух других.
Например, на рисунке выше \(\displaystyle c<a+b{\small .}\)
На рисунке задачи ищем точки пересечения окружностей разных радиусов с центрами в концах отрезка \(\displaystyle AB{\small .}\)
1. Рассмотрим окружность с центром в точке \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle s\small.\) Ей в пару можно поставить только окружность с центром в точке \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle t\small.\) Эти окружности пересекаются в точке \(\displaystyle K\small.\) То есть треугольник \(\displaystyle ABK\) является решением задачи. |  |
2. Если же для построения одной из сторон использовали окружность с центром в точке \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle t\small,\) то для получения второй стороны треугольника можно взять только окружность с центром в точке \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle s\small.\) Это означает, что треугольники \(\displaystyle ABM\) и \(\displaystyle ABP\) также являются решениями исходной задачи. |
  |
Таким образом, на роль третьей вершины искомого треугольника подходят три точки: \(\displaystyle K\small,\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle P\small.\)
Ответ: подходящими треугольниками являются \(\displaystyle {\bf\triangle}ABK{\small ,\;}{\bf\triangle}ABM\) и \(\displaystyle {\bf\triangle}ABP{\small .}\)