Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Построение треугольника по трём сторонам

Задание

Даны сторона треугольника \(\displaystyle ABC\) и два отрезка длинами \(\displaystyle m\) и \(\displaystyle b{\small ,}\) равными соответственно длинам его медианы \(\displaystyle CM\) и стороны \(\displaystyle AC{\small .}\)

В ходе построения этого треугольника проводились четыре окружности  и три прямые. Подберите из предложенных вариантов подходящие для двух этапов построения окружности.

\(\displaystyle 1{\small .}\) Для построения середины \(\displaystyle M\) стороны \(\displaystyle AB\) подходят окружности:
 \(\displaystyle -~~\) Перетащите сюда правильный ответ
 \(\displaystyle -~~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 2{\small .}\) Для построения третьей вершины  подходят окружности:
 \(\displaystyle -~~\) Перетащите сюда правильный ответ
 \(\displaystyle -~~\) Перетащите сюда правильный ответ

 

Решение

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC\) как уже построенный. Найдём элементы, позволяющие применить в построении известные правила.

Отметив на рисунке равные отрезки, обнаруживаем треугольник \(\displaystyle ACM\small,\) все стороны которого заданы или легко находятся.

Отрезки, равные сторонам \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle CM\small,\) даны в условии. Для того чтобы применить правило построения треугольника по трём сторонам, нужно построить отрезок \(\displaystyle AM{\small .}\)

Значит, сначала можно построить середину отрезка \(\displaystyle AB{\small ,}\) а затем построить треугольник \(\displaystyle ACM\) по стороне и двум отрезкам, равным другим сторонам. Его вершина \(\displaystyle C\) будет третьей вершиной искомого треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Этот план построения соответствует дополняемому описанию.

1. Строим середину отрезка \(\displaystyle AB{\small .}\)

     Для применения соответствующего правила нужны две окружности равных радиусов с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\) Из вариантов ответа подходят только две окружности радиуса \(\displaystyle AB{\small .}\)

     В результате получена середина \(\displaystyle M\) стороны \(\displaystyle AB{\small .}\) 

 

2. Применяем правило построения треугольника по трём сторонам.

     В нашем случае следует проводить окружности с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle M{\small .}\)

     Радиус первой равен \(\displaystyle b~-\) длине стороны \(\displaystyle AC{\small .}\) Радиус второй равен \(\displaystyle m~-\) длине стороны \(\displaystyle CM\) треугольника \(\displaystyle ACM\) или медианы треугольника \(\displaystyle ACB{\small .}\)

     Любая из точек пересечения проведённых окружностей подходит на роль вершины \(\displaystyle C\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

 

Ответ: