Даны два отрезка \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle PQ{\small .}\) Требовалось построить два не равных друг другу равнобедренных треугольника со стороной \(\displaystyle AB{\small ,}\) периметр которых равен длине отрезка \(\displaystyle PQ{\small .}\)
Вначале построения были проведены три показанные на рисунке окружности одинакового радиуса \(\displaystyle AB\) с центрами в точках \(\displaystyle P{\small ,\;}K\) и \(\displaystyle Q{\small .}\) Точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle L\) отрезка \(\displaystyle PQ\) принадлежат первой и третьей окружностям. Прямая, соединяющая общие точки второй и третьей окружности, пересекла отрезок \(\displaystyle PQ\) в точке \(\displaystyle M{\small .}\)
Какие окружности ещё следует построить, чтобы завершить построение?
В качестве вершины \(\displaystyle C\) равнобедренного треугольника с основанием \(\displaystyle AB\) можно выбрать одну из точек пересечения окружностей | В качестве вершины \(\displaystyle D\) равнобедренного треугольника с боковой стороной \(\displaystyle AB\) можно выбрать одну из точек пересечения окружностей |
| \(\displaystyle 1)\) с центром \(\displaystyle A\) и радиусом | \(\displaystyle 1)\) с центром \(\displaystyle A\) и радиусом |
| \(\displaystyle 2)\) с центром \(\displaystyle B\) и радиусом | \(\displaystyle 2)\) с центром \(\displaystyle B\) и радиусом |
Предположим для определённости, что второй боковой стороной является отрезок \(\displaystyle BD{\small .}\) Выразим длину основания через периметр треугольника \(\displaystyle ABD{\small ,}\) по условию равный длине \(\displaystyle PQ{\small ,}\) и длину боковой стороны \(\displaystyle AB{\text :}\)
\(\displaystyle AD=PQ-2\cdot AB{\small .}\)
Найдём часть отрезка \(\displaystyle PQ\) этой длины. Окружности с центрами \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) откладывают от этих концов отрезки, равные \(\displaystyle AB{\small .}\)
Значит, длина оставшейся средней части \(\displaystyle KL\) отрезка \(\displaystyle PQ\) равна
\(\displaystyle KL=PQ-2\cdot AB{\small .}\)
Видно, что \(\displaystyle KL~-\) единственный на рисунке отрезок, имеющий нужную длину. Находим его среди вариантов для окружности с центром \(\displaystyle A{\small .}\)
Для другой окружности следует использовать радиус \(\displaystyle AB{\small .}\) Таких равных отрезков на рисунке много, но среди вариантов для окружности с центром \(\displaystyle B\) находим только один подходящий \(\displaystyle -~NQ{\small .}\)
Если в качестве вершины \(\displaystyle D\) рассматривать любую из точек пересечения окружностей выбранных радиусов, то треугольник \(\displaystyle ABD\) удовлетворяет требованиям условия.
Сумма радиусов необходимых окружностей равна разности периметра треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) по условию равного \(\displaystyle PQ{ \small ,}\) и длины основания \(\displaystyle AB{\small .}\) То есть каждый из двух равных радиусов должен иметь длину
\(\displaystyle AC=BC=\frac{PQ-AB}{2}{\small .}\)
Найдём часть отрезка \(\displaystyle PQ\) этой длины. Отрезок \(\displaystyle KQ\) имеет длину
\(\displaystyle KQ=PQ-KP=PQ-AB{\small .}\)
Окружности радиуса \(\displaystyle AB\) с центрами в концах этого отрезка пересеклись в двух точках. Помним, что прямая, соединяющая эти точки \(\displaystyle -\) серединный перпендикуляр к отрезку \(\displaystyle KQ\) (применён известный алгоритм). То есть точка \(\displaystyle M\) делит отрезок на две равных части длиной
\(\displaystyle KM=MQ=\frac{KQ}{2}=\frac{PQ-AB}{2}{\small .}\)
Находим оба обозначения \(\displaystyle KM\) и \(\displaystyle MQ\) среди вариантов радиусов окружностей с центрами соответственно \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\)
Если в качестве вершины \(\displaystyle C\) рассматривать любую из точек пересечения окружностей выбранных радиусов, то треугольник \(\displaystyle ABC\) удовлетворяет требованиям условия.
| Ответ: |  |