Найдем корни числителя \(\displaystyle x-3 \) и знаменателя \(\displaystyle x^2-3x+2{\small : } \)

• решим уравнение \(\displaystyle x-3=0{\small : } \)

\(\displaystyle x=3{\small.} \)

• решим уравнение \(\displaystyle x^2-3x+2=0{\small : } \)

Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

• все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
• все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=3\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Поскольку \(\displaystyle x=1 \) и \(\displaystyle x=2 \) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми:

Получили четыре интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{x^2-3x+2}\) на каждом из интервалов. 

Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим знаменатель дроби на множители, используя найденные корни.

То есть 

\(\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2),\)

Перепишем исходное неравенство в виде

\(\displaystyle \frac{x-3}{(x-1)(x-2)}\leqslant 0 \)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}\) на каждом из интервалов. 
 

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{0-3}{(0-1)(0-2)}=\frac{-3}{-1\cdot(-2)}<0{\small .}\)
  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1{,}5-3}{(1{,}5-1)(1{,}5-2)}=\frac{-1{,}5}{0{,}5\cdot(-0{,}5)}>0{\small .}\)

  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5-3}{(2{,}5-1)(2{,}5-2)}=\frac{-0{,}5}{1{,}5\cdot0{,}5}<0{\small .}\)

  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(4)=\frac{4-3}{(4-1)(4-2)}=\frac{1}{3\cdot2}>0{\small .}\)

  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:

Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{x-3}{(x-1)(x-2)}\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки , то

\(\displaystyle (-\infty;1)\cup (2;3]\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1)\cup (2;3]{\small .}\)