Найдем корни числителя \(\displaystyle x-3 \) и знаменателя \(\displaystyle x^2-4x+4{\small : } \)

• решим уравнение \(\displaystyle x-3=0{\small : } \)

\(\displaystyle x=3{\small.} \)

• решим уравнение \(\displaystyle x^2-4x+4=0{\small : } \)

Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

• все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
• все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=3\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то он обозначается закрашенным. Поскольку \(\displaystyle x=2 \) обращает в ноль знаменатель, то он обозначается выколотым:

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{x^2-4x+4}\) на каждом из интервалов. 

То есть 

\(\displaystyle x^2-4x+4=(x-2)^2{\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде

\(\displaystyle \frac{x-3}{(x-2)^2}\leqslant 0{\small .} \)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{(x-2)^2}\) на каждом из интервалов. 
 

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{0-3}{(0-2)^2}=\frac{-3}{(-2)^2}<0{\small .}\)
  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5-3}{(2{,}5-2)^2}=\frac{-0{,}5}{0{,}5^2}<0{\small .}\)

  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(4)=\frac{4-3}{(4-2)^2}=\frac{1}{2^2}>0{\small .}\)

  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:

Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{x-3}{(x-2)^2}\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки , то

\(\displaystyle (-\infty;2)\cup (2;3]\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2)\cup (2;3]{\small .}\)