Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-6x+9 \) и знаменателя \(\displaystyle x-2{\small : } \)

• решим уравнение \(\displaystyle x^2-6x+9=0{\small : } \)

• решим уравнение \(\displaystyle x-2=0{\small : } \)

\(\displaystyle x=2{\small.} \)

Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

• все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
• все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=3 \) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то он обозначается закрашенным. Поскольку \(\displaystyle x=2 \)  обращает в ноль знаменатель, то он обозначается выколотым:

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-6x+9}{x-2}\) на каждом из интервалов. 

Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель дроби на множители, используя найденные корни.

То есть 

\(\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2{\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде

\(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{x-2}\leqslant 0{\small .} \)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^2}{x-2}\) на каждом из интервалов. 
 

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)^2}{0-2}=\frac{(-3)^2}{-2}<0{\small .}\)
  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{(2{,}5-3)^2}{2{,}5-2}=\frac{(-0{,}5)^2}{0{,}5}>0{\small .}\)
  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(5)=\frac{(5-3)^2}{5-2}=\frac{2^2}{3}>0{\small .}\)
  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:

Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{x-2}\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки, то

\(\displaystyle (-\infty;2)\cup \{3\}\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2)\cup \{3\}{\small .}\)