На рисунке изображен график функции \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+1{\small.}\) Найдите значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f\left(x\right)=10{\small.}\) В ответе укажите наименьшее из полученных значений.
\(\displaystyle x=\)
Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=10{ \small ,}\)
- найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
- решим уравнение \(\displaystyle ax^2+bx+1=10{ \small .}\)
Заметим, что графиком данной функции является парабола.
Точка \(\displaystyle ({-2};{-2})\)
- является вершиной параболы,
- лежит на параболе.
Пользуясь этими двумя фактами, составим систему уравнений для нахождения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (\color{magenta}{-2};\color{magenta}{-2})\) является вершиной параболы \(\displaystyle y=ax^2+bx+1{\small,}\) запишем условие на её абсциссу \(\displaystyle x_0=\color{magenta}{-2}{\small.}\)
Итак,
\(\displaystyle \color{blue}{-2=-\frac{b}{2a}}{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (\color{magenta}{-2};\color{magenta}{-2})\) лежит на параболе \(\displaystyle y=ax^2+bx+1{\small,}\) то при подстановке её координат
\(\displaystyle x_0=\color{Magenta}{-2}\) и \(\displaystyle y_0=\color{Magenta}{-2}\)
в уравнение
\(\displaystyle y=ax^2+bx+1\)
получим верное равенство.
Значит,
\(\displaystyle \color{green}{-2=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+1}{\small .}\)
Получили систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-2}&\color{blue}{=-\frac{b}{2a}}{ \small ,}\\[5px]\color{green}{-2}&\color{green}{=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+1}{\small .}\end{aligned}\right. \)
Решим эту систему уравнений.
Тогда наша функция имеет вид:
\(\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x^2+3x+1{ \small .}\)
Найдём те значения \(\displaystyle x\), при которых значение нашей функции равно \(\displaystyle 10{ \small .}\)
Все такие \(\displaystyle x\) удовлетворяют уравнению
\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2+3x+1=10{\small .}\)
Приведём уравнение к стандартному виду и решим его:
\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2+3x-9=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{1}{4}x^2+x-3=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2+4x-12=0{ \small .}\)
В ответе требуется указать наименьшее из полученных значений. Это \(\displaystyle x=-6{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle x=-6{\small .}\)