На рисунке изображен график функции \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+4{\small.}\)
Составьте систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle b\)=\(\displaystyle a{\small ,}\) |
\(\displaystyle a\)+\(\displaystyle 2b\)=\(\displaystyle {\small .}\) |
Заметим, что графиком данной функции являетя парабола.
Точка \(\displaystyle (\color{Magenta}2;\color{Magenta}{1})\)
- является вершиной параболы \(\displaystyle y=ax^2+bx+4{\small,}\)
- лежит на параболе \(\displaystyle y=ax^2+bx+4{\small.}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (\color{Magenta}2;\color{Magenta}{1})\) является вершиной параболы, воспользуемся следующим правилом:
Абсцисса вершины параболы
Абсцисса \(\displaystyle x_0\) вершины параболы \(\displaystyle y=\color{red}ax^2+\color{blue}bx+\color{green}c\) находится по формуле:
\(\displaystyle x_0=\frac{-\color{blue}b}{2\color{red}a}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle \color{Magenta}{2}=\frac{-b}{2a}{ \small .}\)
Поскольку точка \(\displaystyle (\color{Magenta}2;\color{Magenta}{1})\) лежит на параболе, то при подстановке её координат
\(\displaystyle x_0=\color{Magenta}2\) и \(\displaystyle y_0=\color{Magenta}1\)
в уравнение
\(\displaystyle y=ax^2+bx+4\)
получим верное равенство.
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \color{Magenta}{1}=a\cdot\color{Magenta}2^2+b\cdot\color{Magenta}2+4{\small .}\)
Таким образом, имеем систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{Magenta}{2}&=\frac{-b}{2a}{ \small ,}\\\color{Magenta}{1}&=a\cdot\color{Magenta}2^2+b\cdot\color{Magenta}2+4{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Или
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4a&=-b{ \small ,}\\1&=4a+2b+4 {\small .}\end{aligned}\right. \)
Итак, система имеет вид:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b&=-4\cdot a{ \small ,}\\4\cdot a+2\cdot b&=-3 {\small .}\end{aligned}\right. \)