Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания

Задание

Из точки \(\displaystyle B\) окружности проведены диаметр \(\displaystyle BA\) и хорда \(\displaystyle BC{\small.}\) Касательная к окружности в точке \(\displaystyle C\) пересекает прямую \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle K{\small.}\) На луче \(\displaystyle KC\) за точку \(\displaystyle C\) отмечена точка \(\displaystyle M{\small,}\) как показано на рисунке. Известно, что \(\displaystyle \angle CKB=26^{\circ}{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle BCM{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BCM=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение
  • \(\displaystyle AB\) – диаметр окружности;
  • \(\displaystyle BC\) – хорда окружности;
  • \(\displaystyle CM\) – касательная к окружности;
  • \(\displaystyle K\) – точка пересечения прямой \(\displaystyle AB\) и касательной \(\displaystyle CM{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle CKB=26^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle BCM{\small.}\)

     

    \(\displaystyle \angle BCM\) – угол между касательной \(\displaystyle CM\) и хордой \(\displaystyle BC{\small,}\) значит,

    \(\displaystyle \angle BCM=\frac{1}{2}{\small \smile}BC{\small.}\)

    Определим градусную меру дуги \(\displaystyle BC{\small.}\)

     

    Выполним дополнительное построение:

    • Отметим центр окружности и обозначим его буквой \(\displaystyle O{\small.}\\ \)
    • Проведём радиус \(\displaystyle OC{\small.}\)

    Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть

    \(\displaystyle \angle OCK=90^{\circ}{\small.}\)

     

    • Для прямоугольного треугольника \(\displaystyle OKC\) угол \(\displaystyle BOC\) является внешним.

    Внешний угол треугольника равен сумме двух других, несмежных с ним, то есть

    \(\displaystyle \angle BOC=\angle OCK+ \angle OKC{\small;}\)

    \(\displaystyle \angle BOC=90^{\circ}+ 26^{\circ}=116^{\circ}{\small.}\\ \)

    • Угол \(\displaystyle BOC\) – центральный и опирается на дугу \(\displaystyle BC{\small,}\) значит,

    \(\displaystyle {\small \smile}BC=\angle BOC=116^{\circ}{\small.}\)

     

    Найдём градусную меру угла \(\displaystyle BCM{\small:}\)

    \(\displaystyle \angle BCM=\frac{1}{2}{\small \smile}BC=\frac{1}{2} \cdot 116^{\circ}=58^{\circ}{\small.}\)

    Ответ: \(\displaystyle \angle BCM=58^{\circ}{\small.}\)