Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания

Задание

Из точки \(\displaystyle B\) окружности проведены две хорды \(\displaystyle BA\) и \(\displaystyle BC{\small,}\) при этом \(\displaystyle \angle BCA=80^{\circ}{\small.}\) На окружности отмечена точка \(\displaystyle E\) так, что \(\displaystyle \angle BAE=30^{\circ}{\small.}\) Точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle E\) лежат по разные стороны относительно хорды \(\displaystyle AB{\small.}\) Касательная к окружности в точке \(\displaystyle B\) пересекает прямую \(\displaystyle AE\) в точке \(\displaystyle D{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle ADB{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ADB=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение
  • \(\displaystyle BA\) и \(\displaystyle BC\) – хорды окружности;
  • \(\displaystyle \angle BCA=80^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle E\) – точка окружности такая, что \(\displaystyle \angle BAE=30^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle BD\) – касательная к окружности;
  • \(\displaystyle D\) – точка пересечения прямой \(\displaystyle AE\) и касательной \(\displaystyle BD{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle ADB{\small.}\)

     

    Заметим, что \(\displaystyle \angle BCA\) – вписанный и опирается на дугу \(\displaystyle BEA{\small,}\) следовательно,

    \(\displaystyle {\small \smile}BEA=160^{\circ}{\small.}\)

    Дуга \(\displaystyle BEA\) заключена между касательной \(\displaystyle BD\) и хордой \(\displaystyle BA{\small,}\) значит,

    \(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}BEA{\small.}\)

    То есть

    \(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2} \cdot 160^{\circ}=80^{\circ}{\small.}\)

     

    Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABD{\small.}\)

    Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\)

    \(\displaystyle \angle ADB+\angle BAD+\angle ABD=180^{\circ}{\small.}\)

    Тогда

    \(\displaystyle \angle ADB=180^{\circ}-(\angle BAD+\angle ABD){\small;}\)

    \(\displaystyle \angle ADB=180^{\circ}-(30^{\circ}+80^{\circ})=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}{\small.}\)

     

    Ответ: \(\displaystyle \angle ADB=70^{\circ}{\small.}\)