Из точки \(\displaystyle M\) вне окружности проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) \(\displaystyle (A\) между \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle B){\small,}\) вторая – в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) \(\displaystyle (C\) между \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle D){\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle BAD{\small,}\) если \(\displaystyle \angle ADC=32^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle BMD=53^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle \angle BAD=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
На рисунке обозначим известные измерения:
 |
Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle BAD{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle BAD\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle BD{\small,}\) следовательно,
\(\displaystyle \angle BAD=\frac{1}{2}{\small \smile}BD{\small.}\)
Определим градусную меру дуги \(\displaystyle BD{\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle \angle BMD\) – это угол между секущими \(\displaystyle MB\) и \(\displaystyle MD{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle \angle BMD=\frac{{\small \smile}BD-{\small \smile}AC}{2}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle {\small \smile}BD={\small \smile}AC+2 \cdot \angle BMD{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}AC=64^{\circ}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle {\small \smile}BD=64^{\circ}+2 \cdot 53^{\circ}=64^{\circ}+106^{\circ}=170^{\circ}{\small.} \)
Найдём градусную меру угла \(\displaystyle BAD{\small.}\)
\(\displaystyle \angle BAD=\frac{1}{2}{\small \smile}BD=\frac{1}{2} \cdot 170^{\circ}=85^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle BAD=85^{\circ}{\small.}\)