Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 06 Угол между секущими, проведёнными из одной точки

Задание

Из точки \(\displaystyle P\) вне окружности проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) \(\displaystyle (A\) между \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle B){\small,}\) вторая – в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) \(\displaystyle (C\) между \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle D){\small.}\) Хорды окружности \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) пересекаются в точке \(\displaystyle E{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle BPD{\small,}\) если \(\displaystyle \angle BED=96^{\circ}\) и \(\displaystyle {\small \smile}AC:{\small \smile}BD=1:3{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BPD=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

На рисунке обозначим известные измерения:

  • \(\displaystyle PD\) – секущая, пересекает окружность в точке \(\displaystyle C{\small;}\)
  • \(\displaystyle PB\) – секущая, пересекает окружность в точке \(\displaystyle A{\small;}\)
  • \(\displaystyle E\) – точка пересечения хорд \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle BED=96^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle {\small \smile}AC:{\small \smile}BD=1:3{\small,}\) то есть

\(\displaystyle {\small \smile}AC=t{\small,}\)     \(\displaystyle {\small \smile}BD=3t{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle BPD{\small.}\)

 

\(\displaystyle \angle BPD\) – это угол между секущими \(\displaystyle PB\) и \(\displaystyle PD{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle BPD=\frac{{\small \smile}BD-{\small \smile}AC}{2}{\small.}\)

Определим градусные меры дуг \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

Заметим, что \(\displaystyle \angle BED\) – это угол между пересекающимися хордами \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small,}\) которые высекают на окружности дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle BED=\frac{{\small \smile}BD+{\small \smile}AC}{2}{\small.}\)

Подставим \(\displaystyle \angle BED=96^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}AC=t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BD=3t{\small:}\)

\(\displaystyle 96^{\circ}=\frac{3t+t}{2}{\small;}\)

\(\displaystyle 96^{\circ}=2t{\small;}\)

\(\displaystyle t=48^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle {\small \smile}AC=48^{\circ}{\small;}\)

\(\displaystyle {\small \smile}BD=144^{\circ}{\small.}\)

Найдём градусную меру угла \(\displaystyle BPD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle BPD=\frac{144^{\circ}-48^{\circ}}{2}=\frac{96^{\circ}}{2}=48^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle BPD=48^{\circ}{\small.}\)