Могут ли величины углов \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B{\small,}\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) во вписанном четырёхугольнике \(\displaystyle ABCD\) относиться как \(\displaystyle 1:4:5:3{\small.}\)
 | Четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность. Допустим, что \(\displaystyle \angle A:\angle B:\angle C:\angle D=1:4:5:3{\small,}\) то есть \(\displaystyle \angle A=t{\small;}\) \(\displaystyle \angle B=4t{\small;}\) \(\displaystyle \angle C=5t{\small;}\) \(\displaystyle \angle D=3t{\small.}\) |
Требуется ответить на вопрос, возможно ли такое отношение градусных мер углов?
| Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) |  |
Следовательно,
\(\displaystyle \angle A+\angle C=180^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle B+\angle D=180^{\circ}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \angle A=t{\small,}\) \(\displaystyle \angle B=4t{\small,}\) \(\displaystyle \angle C=5t{\small,}\) \(\displaystyle \angle D=3t\) и найдём значение \(\displaystyle t{\small,}\) при котором данное равенство верно.
\(\displaystyle t+5t=4t+3t{\small;}\)
\(\displaystyle 6t=7t{\small;}\)
\(\displaystyle t=0{\small.}\)
Не существует отличного от нуля значения \(\displaystyle t{\small,}\) при котором равенство верно.
То есть во вписанном четырёхугольнике отношение углов не может быть \(\displaystyle 1:4:5:3{\small.}\)
Ответ: Нет.