В остроугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) провели высоты \(\displaystyle AA_1\) и \(\displaystyle BB_1{\small.}\) Найдите угол \(\displaystyle AA_1B_1{\small,}\) если угол \(\displaystyle ABB_1\) равен \(\displaystyle 33^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle \angle AA_1B_1=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
 | \(\displaystyle ABC\) – остроугольный треугольник:
Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle AA_1B_1{\small.}\) |
| Если одна сторона выпуклого четырёхугольника видна из двух его вершин под равными углами, то этот четырёхугольник можно вписать в окружность. |  |
В четырёхугольнике \(\displaystyle AB_1A_1B\) сторона \(\displaystyle AB\) видна из вершин \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle B_1\) под прямым углом.
Значит, вокруг четырёхугольника \(\displaystyle AB_1A_1B\) можно описать окружность.
 | Углы \(\displaystyle AA_1B_1\) и \(\displaystyle ABB_1\) вписаны в окружность и опираются на одну дугу \(\displaystyle AB_1{\small.}\) Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу этой окружности, равны. Следовательно, \(\displaystyle \angle AA_1B_1=\angle ABB_1=33^{\circ}{\small.}\) |
Ответ:\(\displaystyle \angle AA_1B_1=33^{\circ}{\small.}\)