\(\displaystyle \color{black}1\small.\) В исходном уравнении

\(\displaystyle kx+6=2x+3k\)

перенесём все члены, содержащие \(\displaystyle x\small,\) в левую часть, а остальные – в правую, получим

\(\displaystyle kx-2x=3k-6\small.\)

\(\displaystyle \color{black}2\small.\) Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\small\) за скобки.

Получили уравнение

\(\displaystyle \color{blue}{(k-2)}x=\color{red}{3k-6}\small.\)

\(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small,\)

где \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}{k-2}\small,\) а \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}{3k-6}\small.\)

\(\displaystyle \color{black}3\small.\) Проанализируем условия для количества корней линейного уравнения.

линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small\) имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия

\(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}0\) и \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}0\small.\)

В этом случае уравнение принимает вид

\(\displaystyle \color{blue}0\cdot x=\color{red}0\small,\)

что верно при любом \(\displaystyle x\small,\) то есть корнем уравнения служит любое число.

\(\displaystyle \color{black}4\small.\) Найдём значение \(\displaystyle k\small, \) при котором выполняются оба условия.

Сначала приравняем выражение при \(\displaystyle x\small\) в уравнении \(\displaystyle \color{blue}{(k-2)}x=3k-6\small\) к нулю, то есть

\(\displaystyle \color{blue}{k-2}=\color{blue}0 \small, \)

откуда \(\displaystyle k=2 \small. \)

Значит, при \(\displaystyle k=2 \small\) выполняется условие \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}0\small.\)

Теперь подставим вместо \(\displaystyle k\small \) значение \(\displaystyle \color{green}2 \small \) в правую часть уравнения \(\displaystyle (k-2)x=\color{red}{3k-6}\small{:}\)

\(\displaystyle \color{red}{3k-6}=3\cdot \color{green}2-6=6-6=\color{red}0\small.\)

Условие \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}0\small\) тоже выполняется.

Таким образом, при \(\displaystyle k=2 \small \) и уравнение \(\displaystyle (k-2)x=3k-6\small,\) и равносильное ему исходное уравнение \(\displaystyle kx+6=2x+3k\small\) имеют бесконечно много корней.

Ответ: \(\displaystyle k=2 \small.\)