Найдите значение параметра \(\displaystyle k\small,\) при котором равносильны уравнения
\(\displaystyle 4x=12\)
и
\(\displaystyle 4x \cdot k=24\small.\)
\(\displaystyle k=\)
Равносильные уравнения
Равносильными называются уравнения, имеющие одинаковые корни (или не имеющие корней).
Найдем корень первого уравнения \(\displaystyle 4x=12\small,\) а затем выясним, при каком значении параметра \(\displaystyle k\small\) он является корнем второго уравнения \(\displaystyle 4x \cdot k=24\small.\)
Решаем первое уравнение:
\(\displaystyle 4x=12\small,\)
\(\displaystyle x=12:4\small,\)
\(\displaystyle x=3\small.\)
Теперь выясним, при каком значении параметра \(\displaystyle k\small\) число \(\displaystyle x=3\small\) является корнем второго уравнения \(\displaystyle 4x \cdot k=24\small.\)
При подстановке в уравнение \(\displaystyle 4x \cdot k=24\small \) вместо \(\displaystyle x\) числа \(\displaystyle 3\) должно получаться верное равенство:
\(\displaystyle 4\cdot 3 \cdot k=24\small. \)
Тогда
\(\displaystyle 12 \cdot k=24\small, \)
\(\displaystyle k=24:12\small, \)
\(\displaystyle k=2\small. \)
Значит, уравнения равносильны при \(\displaystyle k=2\small. \)
Ответ: \(\displaystyle k=2\small. \)
Левая часть второго уравнения получена умножением левой части первого уравнения на число \(\displaystyle k\), при этом \(\displaystyle k=\not 0{\small .}\)
Правая часть \(\displaystyle 24\) второго уравнения получена умножением правой части \(\displaystyle 12\) первого уравнения на число \(\displaystyle 2\small. \)
Значит, при \(\displaystyle k=2\small\) уравнения равносильны.