\(\displaystyle \color{black}1\small.\) В исходном уравнении

\(\displaystyle kx+5=3x+2k\)

перенесём все члены, содержащие \(\displaystyle x\small,\) в левую часть, а остальные – в правую, получим

\(\displaystyle kx-3x=2k-5\small.\)

\(\displaystyle \color{black}2\small.\) Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\small\) за скобки.

Получили уравнение

\(\displaystyle \color{blue}{(k-3)}x=\color{red}{2k-5}\small.\)

\(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small,\)

где \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}{k-3}\small,\) а \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}{2k-5}\small.\)

\(\displaystyle \color{black}3\small.\) Проанализируем условия для количества корней линейного уравнения.

линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small\) имеет бесконечно много корней тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия

\(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}0\) и \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}0\small.\)

В этом случае уравнение принимает вид

\(\displaystyle \color{blue}0\cdot x=\color{red}0\small,\)

что верно при любом \(\displaystyle x\small,\) то есть корнем уравнения служит любое число.

\(\displaystyle \color{black}4\small.\) Найдём значение \(\displaystyle k\small,\) при котором выполняются оба условия.

Сначала приравняем выражение при \(\displaystyle x\small\) в уравнении \(\displaystyle \color{blue}{(k-3)}x=2k-5\small\) к нулю, то есть

\(\displaystyle \color{blue}{k-3}=0 \small,\)

откуда \(\displaystyle k=3 \small.\)

Значит, при \(\displaystyle k=3 \small\) выполняется условие \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}0\small.\)

Теперь подставим вместо \(\displaystyle k\small\) значение \(\displaystyle \color{green}{3} \small\) в правую часть уравнения \(\displaystyle (k-3)x=\color{red}{2k-5}\small{:}\)

\(\displaystyle \color{red}{2k-5}=2\cdot \color{green}{3}-5=6-5=1=\not0\small.\)

Условие \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}0\small\) не выполняется.

Проверим, может ли быть \(\displaystyle b=0\) при каком-либо другом \(\displaystyle k\small.\)

\(\displaystyle \color{red}{2k-5}=0\small,\)

\(\displaystyle 2k=5\small,\)

\(\displaystyle k=2{,}5\small.\)

При \(\displaystyle k=2{,}5\) имеем \(\displaystyle a=2{,}5-3=-0{,}5=\not0\small.\)

Следовательно, нет такого значения \(\displaystyle k\small,\) при котором одновременно \(\displaystyle a=0\) и \(\displaystyle b=0\small.\)

Ответ: таких значений \(\displaystyle k\) не существует.