\(\displaystyle \color{black}1\small.\) В исходном уравнении

\(\displaystyle kx+4=2x+2k\)

перенесём все члены, содержащие \(\displaystyle x\small,\) в левую часть, а остальные – в правую, получим

\(\displaystyle kx-2x=2k-4\small.\)

\(\displaystyle \color{black}2\small.\) Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\small\) за скобки.

Получили уравнение

\(\displaystyle \color{blue}{(k-2)}x=\color{red}{2k-4}\small.\)

\(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small,\)

где \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}{k-2}\small,\) а \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}{2k-4}\small.\)

\(\displaystyle \color{black}3\small.\) Проанализируем условия для количества корней линейного уравнения.

линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small\) не имеет корней, если одновременно выполняются условия

\(\displaystyle \color{blue}a=0\) и \(\displaystyle \color{red}b =\not 0\small.\)

В этом случае уравнение принимает вид

\(\displaystyle \color{blue}0\cdot x=\color{red}b\small,\)

и оно не имеет корней.

\(\displaystyle \color{black}4\small.\) Найдём значение \(\displaystyle k\small,\) при котором выполняются оба условия.

Сначала приравняем выражение при \(\displaystyle x\small\) в уравнении \(\displaystyle \color{blue}{(k-2)}x=2k-4\small\) к нулю, то есть

\(\displaystyle \color{blue}{k-2}=0 \small,\)

откуда \(\displaystyle k=2 \small.\)

Значит, при \(\displaystyle k=2 \small\) выполняется условие \(\displaystyle \color{blue}a=0\small.\)

Теперь подставим вместо \(\displaystyle k\small\) значение \(\displaystyle \color{green}{2} \small\) в правую часть уравнения \(\displaystyle (k-2)x=\color{red}{2k-4}\small{:}\)

\(\displaystyle \color{red}{2k-4}=2\cdot 2-4=4-4=0\small.\)

Условие \(\displaystyle \color{red}b =\not 0\small\) не выполняется (получили \(\displaystyle b=0\)).

Следовательно, нет такого значения \(\displaystyle k\small,\) при котором \(\displaystyle a=0\) и \(\displaystyle b =\not 0\) одновременно.

Таким образом, ни при каком \(\displaystyle k\) исходное уравнение \(\displaystyle kx+4=2x+2k\) не остаётся без корней: либо у него один корень (при \(\displaystyle k =\not 2\)), либо бесконечно много корней (при \(\displaystyle k=2\)).

Ответ: таких значений \(\displaystyle k\) нет.